Fermioni, Spinori e Quaternioni nella Fisica Quantistica

Questa connessione interna, ma associata a una frantumazione spaziale tridimensionale è indiscricabile e, in ultima analisi, costituisce la ragione effettiva dell'impenetrabilità della materia.

Quaternioni e Fermioni. Le indagini del XX secolo sul moto dell'elettrone hanno portato al riconoscere la necessità di una dimensione ulteriore alle tre usuali che può essere facilmente modellizzata attraverso l'uso di una speciale tipologia di numeri chiamati Quaternioni e indicati con il simbolo $\mathbb{H}$ in onore di Hamilton, il matematico che li ha scoperti.

Da un punto di vista tecnico-matematico i fermioni sono rappresentati matematicamente da spinori. Uno spinore che vive nello spazio tridimensionale è una 2-upla di numeri complessi, i.e. $x,y \in \mathbb{C}$, e una rotazione di questo spinore attorno all'asse $z$ può essere ottenuta applicando la trasformazione: $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} - i\sin \frac{\theta}{2} & 0 \\ 0 & \cos \frac{\theta}{2} + i\sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Notiamo che quando $\theta = 2\pi$, ovvero quando abbiamo applicato una rotazione al sistema di 360º, lo spinore ha cambiato di segno, i.e. $(x',y') \to (-x, -y)$. Questa legge di trasformazione per le rotazioni implica automaticamente il principio di esclusione di Pauli.

Se prendiamo un fascio polarizzato di elettroni, e lo lasciamo passare attraverso una barriera con due fessure tagliate, possiamo osservare un tipico effetto di interferenza nella distribuzione di elettroni su uno schermo posizionato poco oltre. Ora, poniamo un campo magnetico vicino a una delle due fenditure di modo da far ruotare una parte degli elettroni rispetto all'asse $z$ e applichiamo una forza magnetica tale che li faccia ruotare di 360º ovvero di un giro completo.

Avendo fatto compiere agli elettroni un completo giro attorno all'asse $z$, ci potremmo aspettare di non osservare cambiamenti nella distribuzione di elettroni sullo schermo. Viceversa la distribuzione sullo schermo cambia sostanzialmente e ritorna uguale a se stessa solo se facciamo compiere due intere rotazioni all'elettrone attorno all'asse $z$.

Il fenomeno, per quanto strano, si ripete identico per rotazioni attorno a tutti gli assi $x,y,z$ del nostro mondo tridimensionale. Di fatto, l'elettrone, nelle sue rotazioni, segue una legge di moltiplicazione che è quella tipica dei numeri quaternionici, numeri che hanno insita una dimensione quadrupla rispetto a quella dei numeri reali $\mathbb{R}$.

Se chiamiamo con la lettera $i$ una rotazione dell'elettrone di 180º attorno all'asse $x$, con la lettera $j$ una rotazione di 180º attorno all'asse $y$ e con la lettera $k$ una rotazione di 180º rispetto all'asse $z$, allora avremo che $i^2 = j^2 = k^2 = -1$, ovvero ruotando di 360º rispetto a uno qualsiasi dei tre assi, lo spin interno dell'elettrone ne risulterà ribaltato, come pure $ijk = -1$.

Questa proprietà, chiamata spinoriale, è tipica di tutte le particelle che consideriamo come materiali, che obbediscono al principio di esclusione di Pauli e che sono chiamate fermioni. Una rappresentazione grafica utile a comprendere questa proprietà, detta spinoriale, dei fermioni può essere data dal nastro di Möbius percorrendo la superficie del quale ci si trova alternativamente all'interno e all'esterno del nastro.

Prime Conclusioni. L'indagine della Natura attraverso i mezzi della Fisica-Matematica ha, in effetti, portato dei risultati conclusivi. I dettagli finali dell'indagine potranno sicuramente cambiare, si potranno scoprire nuove anomalie e nuove particelle, si potrà scoprire un ulteriore meccanismo per un decadimento sub-atomico, si potranno rivedere delle ipotesi azzardate, ricondurre tutte le particelle e le forme di energia a un'unica elegante teoria, comunque, per quello che ci riguarda, l'investigazione fisica della materia è conclusa.