Mathematics
Ricerca in algebre di Jordan aperiodie su quasicristalli icosaedrici. Le formule matematiche sono ora renderizzate correttamente utilizzando MathJax.
Jordan Algebras over Icosahedral Cut-and-Project Quasicrystals
Definizione (Cut-and-project scheme)
Un cut-and-project scheme è dato da:
$$\begin{matrix}
\Xi & \subseteq & \Lambda & \subseteq & \Omega \\
\cap & & \cap & & \cap \\
\mathbb{R}^{d_1} & \leftarrow^{\pi_1} & \mathbb{R}^{d_1} \times \mathbb{R}^{d_2} & \rightarrow^{\pi_2} & \mathbb{R}^{d_2}
\end{matrix}$$
dove il model set è definito come:
$$\Xi = \{\pi_1(x) \in \mathbb{R}^{d_1} : x \in \Lambda, \pi_2(x) \in \Omega\}$$
Quasiaddition
L'operazione binaria di quasiaddition è definita per ogni $x, y \in \mathcal{I}$ come:
$$x \vdash y = \tau^2 x - \tau y$$
dove $\tau = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ è il rapporto aureo.
Proposizione 4.1
Sia $x, y \in \mathcal{I}$. Allora:
\begin{align}
x \vdash (x \vdash (x \vdash (\ldots \vdash x))) &= x \\
x \vdash (y \vdash x) &= (x \vdash y) \vdash x \\
x \vdash (y \vdash y) &= (x \vdash x) \vdash y = x \vdash y \\
x \vdash (x \vdash y) &= y \vdash x
\end{align}
Algebre di Jordan Aperiodie
Teorema 5.4
L'algebra $\mathfrak{J}(\Xi)$ è un'algebra di Jordan.
Il prodotto bilineare nell'algebra $\mathfrak{J}(\Xi)$ è definito come:
$$L_x \circ L_y = \frac{1}{2}(L_{x \vdash y} + L_{y \vdash x})$$
per ogni $x, y \in \Xi$.
Proprietà delle coordinate integrali
Per due icosiani $x, y \in \mathcal{I}$ con coordinate integrali $x = (a,b,c,d,e,f,g,h)$ e $y = (a',b',c',d',e',f',g',h')$, la quasiaddition si esprime come:
$$x \vdash y = \begin{pmatrix}
(a-a') + (b-b') + a' \\
(a-a') + (b-b') + b' \\
(c-c') + (d-d') + c' \\
(c-c') + (d-d') + d' \\
(e-e') + (f-f') + e' \\
(e-e') + (f-f') + f' \\
(g-g') + (h-h') + g' \\
(g-g') + (h-h') + h'
\end{pmatrix}^t$$
Esempi di Quasicristalli
Quasicristallo di Fibonacci
Il quasicristallo di Fibonacci è definito dal model set:
$$\mathcal{F} = \{x \in \mathbb{Z}[\tau] : x^* \in (0,1]\}$$
Tassellatura di Penrose
I vertici della tassellatura di Penrose sono dati dall'insieme aperiodia:
$$\Xi = \{z \in \mathbb{Z}[\tau]\triangle \subset \mathbb{C} : z^* \in \Omega\}$$
dove $\triangle$ è il sistema di radici di tipo $H_2$:
$$\triangle = \{\pm 1, \pm \xi^2, \pm(1+\tau\xi^2), \pm(\tau+\xi^2), \pm(\tau+\tau\xi^2)\}$$
Mappings per E8-lattice
Le proiezioni nel cut-and-project scheme per il reticolo $E_8$ sono definite come:
\begin{align}
\pi_\parallel(X) &= (c_1 + \tau c_7)\mathbf{a}_1 + (c_2 + \tau c_6)\mathbf{a}_2 + (c_3 + \tau c_5)\mathbf{a}_3 + (c_8 + \tau c_4)\mathbf{a}_4 \\
\pi_\perp(X) &= \left(c_1 - \frac{1}{\tau}c_7\right)\mathbf{a}_1^* + \left(c_2 - \frac{1}{\tau}c_6\right)\mathbf{a}_2^* + \left(c_3 - \frac{1}{\tau}c_5\right)\mathbf{a}_3^* + \left(c_8 - \frac{1}{\tau}c_4\right)\mathbf{a}_4^*
\end{align}
dove $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 \in \mathbb{R}^4$ sono:
\begin{align}
\mathbf{a}_1 &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\tau}, -\tau, 0, -1\right) \\
\mathbf{a}_2 &= \frac{1}{2}\left(0, \frac{1}{\tau}, -\tau, 1\right) \\
\mathbf{a}_3 &= \frac{1}{2}\left(0, 1, \frac{1}{\tau}, -\tau\right) \\
\mathbf{a}_4 &= \frac{1}{2}\left(0, -1, \frac{1}{\tau}, \tau\right)
\end{align}
Riferimenti
Per maggiori dettagli, consultare l'articolo completo:
Corradetti D., Chester D., Aschheim R., Irwin K. "Jordan algebras over icosahedral cut-and-project quasicrystals", Journal of Geometry and Physics (2025).