La Spirale di Teodoro e i Numeri Irrazionali nella Matematica Pitagorica

allusioni e degli enigmi- si trova nel Teeteto di Platone: la spirale di Teodoro di Cirene. Il motivo per cui vogliamo presentarvi questa costruzione trova la sua ragione nel fatto che recentemente è stata scoperta una proprietà inaspettata di questa spirale che ricorda alquanto il risultato riportato da Tabit sul prodotto dei numeri naturali e π. Prima di poter presentare la costruzione di Teodoro, dobbiamo però fare una breve parentesi relativa ai numeri irrazionali algebrici. Oggi, chiunque abbia conoscenze elementari di matematica conosce i numeri irrazionali, questi sono i numeri che non possono essere scritti sotto forma di frazione $a=b$ dove $a$ e $b$ sono numeri naturali. I numeri irrazionali si dividono in due grandi categorie: i numeri irrazionali algebrici e quelli trascendenti. I primi possono essere scritti come soluzione di equazioni algebriche e di essi fanno parte tutti i radicali dei numeri naturali come $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{2}$, etc.; dei secondi fanno parte quei numeri non ottenibili come soluzioni di equazioni polinomiali; $e$; $\pi$; etc... I Pitagorici davano una enorme -e apparentemente inspiegabile- importanza ai numeri irrazionali, tanto che l'apocrifa vulgata vorrebbe Ippaso da Metaponto come vittima di un naufragio o addirittura di un omicidio per aver infranto il segreto attorno a tali numeri. Più prosaicamente sappiamo che i Pitagorici consideravano i numeri irrazionali quale parte di un insegnamento vincolato alla Disciplina dell'Arcano, ovvero riservato ai soli iniziati perché relativo a dei numeri esoterici, quindi non manifesti e occulti, di cui i numeri naturali costituiscono l'espressione exoterica e visibile. Per capire a fondo questa visione di cose dobbiamo distaccarci dal modo usuale che abbiamo di rappresentare i numeri su un'unica retta, che è la retta reale. Tale rappresentazione lineare, cartesiana, pur essendo incredibilmente utile per la nostra Geometria Analitica, non è l'unica possibile e certamente non era utilizzata all'epoca dei Pitagorici. Questi avevano una concezione più geometrica che algebrica dei numeri e possiamo dire che per essi un numero era identificato da una lunghezza concretamente rappresentabile. Il mistero che avvolge i numeri irrazionali conosciuti dai pitagorici dell'epoca deriva dal processo della loro costruzione. L'Uno 1 è per i Pitagorici l'Origine e il Padre di tutti i Numeri. Da questo deriva il Due 2, che possiamo ottenere attraverso un prolungamento con una linea orizzontale (Fig. 1). Ora, se ci muoviamo di una nuova unità, ma verticalmente invece che orizzontalmente, ovvero nell'interiorità delle cose invece che nella loro esteriorità, nell'essenza della realtà invece che nell'apparenza, otteniamo un nuovo numero, relazionato con il numero 2, che identificheremo come $\sqrt{2}$. Questo Numero, che appare essere come un gemello occulto del nostro numero 2, è incommensurabile, ovvero non rapportabile a nessun altro numero naturale, e appare dunque essere di un'altra specie di numeri. Se, a questo punto, ripetiamo il procedimento spostandoci nuovamente di una unità in modo ortogonale al precedente $\sqrt{2}$, otterremo un nuovo numero che indicheremo come $\sqrt{3}$ che è nuovamente incommensurabile sia rispetto al primo che rispetto al secondo (Fig. 2). Se continuiamo aggiungendo per via ortogonale una unità e proiettando dall'origine un segmento, otterremo tutti i radicali dei Numeri naturali che si andranno avvolgendo come una spirale attorno all'Unità originale, formando così la famosa Spirale di Teodoro. È qui molto facile capire la meraviglia che tale costruzione doveva produrre nei Pitagorici. I numeri irrazionali da loro scoperti illuminavano una specie di Numeri sconosciuta, estranea alla specie dei Numeri naturali, ai Numeri del mondo esteriore e fenomenico. Questa nuova specie di numeri, incommensurabile alla prima, era ottenuta per via di una generazione interna o esoterica dell'Unità. Tali Numeri erano le chiavi per una conoscenza interiore ed esoterica delle cose nascoste e, come tale, la conoscenza di tale Numeri non poteva certo essere divulgata ai profani, ma gelosamente custodita solo fra iniziati, fra coloro capaci di rispettarne il Mistero. Nel Teeteto di Platone, viene riportato che Teodoro di Cirene interruppe la dimostrazione dell'irrazionalità dei radicali dei numeri naturali arrivato a $\sqrt{17}$ e il motiv