Fondamenti Geometrici dell'Armonia Musicale: Poligoni di Keplero e Oscillazioni delle Corde

fondamentale, di lunghezza d'onda pari alla lunghezza della corda, altre oscillazioni sono possibili e ricevono una parte dell'energia meccanica trasmessa dal dito. Dato che i due estremi della corda sono fissi e non possono muoversi, gli unici moti stazionari possibili sono quei moti oscillatori in cui la lunghezza d'onda è un sottomultiplo intero della lunghezza della corda. In pratica, l'avere i due estremi fissi comporta che ogni moto stazionario deve avere un numero intero di onde complete, ovvero una frequenza multipla della frequenza fondamentale. Queste oscillazioni possibili si differenziano tra loro solo in relazione al numero di creste dell'onda che le formano. Il numero di creste d'onda è un indicatore della frequenza del suono risultante: maggiore il numero di creste, maggiore sarà la sua frequenza. Poiché virtualmente ogni numero intero di creste d'onda è possibile, così idealmente$^{12}$ ogni frequenza esattamente multipla della fondamentale è possibile. Ciò che abbiamo evidenziato, e che è cruciale in questo processo, è il fatto che i due estremi della corda siano fissi e quindi impossibilitati a muoversi. Se un estremo della corda potesse muoversi liberamente, la corda non emetterebbe alcun suono, cosa che invece avviene quando le due estremità sono fisse. Il motivo profondo di questo fenomeno risiede nelle nascoste proprietà musicali del cerchio. Fu, infatti, Keplero a rendersi conto che, riunendo idealmente i due estremi della corda fino a formare un cerchio, era possibile ottenere ogni armonico naturale inscrivendo il poligono regolare corrispondente all'interno del cerchio. I vertici di un triangolo, infatti, avrebbero indicato i nodi$^{13}$ d'oscillazione del terzo armonico, i vertici di un quadrato quelli del quarto, quelli di un pentagono quelli del quinto e così via. Ogni armonico poteva dunque essere considerato come originato dall'iscrizione di un poligono regolare avente numero di lati pari al numero dell'armonica che si intendeva produrre. La successione armonica appariva così interamente risolta per via geometrica con la successione dei poligoni regolari. Inoltre, poiché la scala diatonica naturale con le sue sette note nasce dagli intervalli di questa successione armonica, e da queste sette note poi diparte tutto lo studio dei modi musicali e dell'armonia, questa equivalenza fra successione armonica e poligoni costituisce una chiave per interpretare su base geometrica i fondamenti di tutta l'armonia musicale. A titolo di puro esempio mostriamo come, ispirandosi a questa corrispondenza fra poligoni ed armoniche, sia possibile assegnare a determinati accordi o composizioni musicali delle costellazioni di poligoni regolari equivalenti. Scegliamo ad esempio una nota fondamentale dalla cui considerare le seguenti armoniche. Scegliamo in questo caso la nota Do. Poiché la nota Sol rappresenta la terza armonica di un Do fondamentale, possiamo in questo caso rappresentare tale nota attraverso l'uso di un triangolo dove il Do può essere rappresentato con un cerchio con il punto essendo qui la nota fondamentale. Così, l'accordo Do-Sol può essere rappresentato con un triangolo inscritto in un cerchio con il punto, mentre l'accordo Sol-Do con un triangolo circoscritto. Allo stesso modo, l'aggiunta di un Mi può essere visualizzata con una stella a 5 punte perché il Mi rappresenta in questo contesto la quinta armonica. Nota matematica sul Cerchio, il duale di Pontryagin e le serie di Fourier. Vogliamo scrivere alcune precisazioni matematiche per chi ha una formazione matematica almeno universitaria. Chiaramente queste potranno essere saltate senza precludere la comprensione dell'articolo nella sua essenza. La relazione fra armoniche musicali e circonferenza è molto più profonda di quello che può apparire ad una prima impressione. Approfondendo un attimo matematicamente il fenomeno acustico del precedente paragrafo, possiamo dire che una nota musicale può essere modellizzata attraverso l'uso di una funzione periodica che, senza perdita di