Serie Matematiche e Architettura Sacra: Fibonacci, Lucas e l'Abbazia di San Galgano

molto famose come ad esempio la serie di Fibonacci, la serie di Lucas e la serie geometrica. Sul significato simbolico e aritmetico della serie di Fibonacci, che sicuramente tratteremo in un articolo, nessuno a mia conoscenza ha mai presentato la somma compiuta di tale serie divergente. La serie in questione è data dalla somma $$1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + \cdots$$ dove ciascun termine è ottenuto dalla somma dei due numeri precedenti. Per procedere con il metodo di Eulero dobbiamo definire $$f(x) = 1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 + \cdots$$ e notare che tale espressione non è altro che l'espansione in serie di Taylor in 0 della funzione $$f(x) = \frac{1}{1-x-x^2}$$ Dato che in questa nuova formulazione $f(1) = -1$, possiamo dedurre che $$1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + \cdots = -1$$ Notiamo la meraviglia simbolica per cui nuovamente la proporzione aurea ci riporta all'unità attraverso la somma della serie che più di tutte è stata storicamente a lei associata. Il comparire del segno negativo davanti all'Unità indica un moto occulto in contrapposizione a una esplicitazione esterna. Il divenire fenomenico della successione di Fibonacci è un moto esterno dell'Unità interna e occulta espressa dall'$-1$. Un'altra successione associata alla proporzione aurea, anche se meno nota della successione di Fibonacci, è data dai numeri di Lucas, i.e. $1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, \ldots$ Sull'importanza simbolica di questi numeri scriveremo certamente un articolo, ma al momento ci interessa solo evidenziare come, considerando $$f(x) = 1 + 3x + 4x^2 + 7x^3 + 11x^4 + 18x^5 + \cdots$$ e notando che questa non è altro che l'espansione in serie di $$f(x) = \frac{1+2x}{1-x-x^2}$$ possiamo ottenere il risultato notevole per cui $$1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + \cdots = -3$$ Se la somma della serie di Fibonacci rimanda all'Unità, la somma della serie di Lucas rimanda alla Trinità. Questa complementarità delle due serie numeriche è particolarmente interessante e ci riserviamo di svilupparla a parte in una serie di articoli futuri. Notiamo infine che con il metodo di Eulero possiamo trovare, fuori da $x = 1$, la somma delle serie geometriche divergenti, i.e. $$1 + a + a^2 + a^3 + \cdots$$ notando che la funzione $$f(x) = 1 + ax + a^2x^2 + a^3x^3 + \cdots$$ non è altro che lo sviluppo in serie di Taylor in 0 di $$f(x) = \frac{1}{1-ax}$$ e quindi $$1 + a + a^2 + a^3 + \cdots = \frac{1}{1-a}$$ per qualsiasi $a \neq 1$. Non ci soffermiamo sul significato simbolico della relazione che lasciamo al lettore da sviluppare e scoprire. Ad esempio ponendo $a$ come la proporzione aurea, i.e. $a = \varphi = 1.618033\ldots$, otteniamo la seguente serie notevole $$1 + \varphi + \varphi^2 + \varphi^3 + \cdots = -\varphi$$ ma non scritta in alcun libro di simbolismo matematico. Dove fallisce il metodo di Eulero. Date queste premesse, potremmo essere interessati a chiederci quale sia la somma della serie dei numeri naturali, oppure di quella dei numeri triangolari, o quadrati o in generale dei numeri figurati. Possiamo provare a procedere con il metodo di Eulero e in questo caso abbiamo che alla successione dei numeri naturali $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ è associata la funzione $$f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \cdots$$ la quale purtroppo è l'espansione in serie di $$f(x) = \frac{x}{(1-x)^2}$$ che non è definita in 1. Ecco dunque un limite non da poco nel metodo di Eulero. Per ovviare a questo problema ed ottenere la somma di tutti i numeri naturali, dovremo introdurre una funzione speciale chiamata funzione zeta di Riemann, che sarà l'oggetto del prosieguo di questo articolo nel prossimo numero. (continua) Il modulo dell'Abbazia di San Galgano - 1ª parte (Apotegma) La grande Abbazia di San Galgano nel piano della Merse, presso Chiusdino, ebbe la sua prima origine da una Cappella e da un piccolo monastero eretti circa l'anno 1185 sul Monte Siepi, nel luogo stesso dove, secondo la leggenda, Galgano Guidotti si ridusse nell'anno 1180 a vita eremitica figgendo, a guisa di croce, la sua Spada nelle fenditure di un masso. Narra la leggenda che Galgano visse in quel romitorio circa un anno e che ivi morì il 3 dicembre del 1181, all'età di 33 anni. Verso l'anno 1224, venne iniziata dai monaci cistercensi di Monte Siepi la costruzione della grande Abbazia di San Galgano. Il progetto di un reale edificio sacro è determinato -da una parte- da esigenze di funzione e struttura, dall'altra da realtà spirituali e idee mistiche che devono essere tradotte e innestate nel materiale purificato e ricettivo dell'Opera. Quindi, mentre l'architettura civile è solo funzionale e illusionistica, in quanto non fa riferimento a nessun principio e modello e serve solo a soddisfare i vari aspetti estetici, l'architettura sacra è invece simbolica, ossia è caratterizzata dall'essere informata, ovvero modellata dall'imitazione e