Infinito Matematico e Teoria degli Insiemi

ciò è simboleggiato con il tendere della successione degli inversi dei numeri interi positivi verso lo zero; ciò in un linguaggio semplificato è scritto nel modo seguente: $0 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$. (9) Lo 0 non è mai raggiungibile attraverso ripetizioni successive del tipo di percorso che da $\frac{1}{n}$ porta a $\frac{1}{n+1}$; lo zero non è il successivo di alcun inverso di un $n \in \mathbb{N}$. Vi è uno iato tra l'intera successione dei numeri frazionari $\{\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}, \ldots, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3^2}\}$ e il numero 0. È solo attraverso un immediato atto intuitivo, nascosto da quel $n \to \infty$ della formula (9), che possiamo chiudere la successione $\{0, \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}, \ldots, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1\}$. Questo vero e proprio salto simboleggia l'incommensurabilità tra ciò che si propaga dal finito, così come simboleggiato dall'intera successione $\{\frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}_{>0}}$, (anche se nel modo più semplificato possibile, ossia per ripetizione induttiva della stessa forma) e ciò che eternamente è, assolutamente non riproducibile in alcuna delle singole forme $\frac{1}{n}$. Il simbolo della irraggiungibile alterità che, tuttavia, orienta una molteplicità è qui suggerito dalla chiusura della successione $\{\frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}_{>0}}$, con il numero 0 che, appunto, orienta la successione, senza appartenerle. Tutt'altra idea è quella dell'indefinito. L'indefinito ammette operazioni su di esso; ad esempio la più elementare è quella di prenderne solo una parte. Se consideriamo, ad esempio, i numeri pari e chiudiamo la predicazione di essere un numero pari tramite la creazione della successione dei numeri pari; ossia, in linguaggio semplificato consideriamo $\mathbb{N}_{pari} := \{n \in \mathbb{N}_{>0} | \exists m \in \mathbb{N}_{>0} \text{ tale che } 2m = n\}$ (che si può leggere nel modo seguente: "$\mathbb{N}_{pari}$ è l'insieme dei numeri naturali positivi $n$ per i quali esiste un numero naturale positivo $m$ il cui doppio è il numero $n$"), ebbene realizziamo senza difficoltà alcuna che, se togliamo da $\mathbb{N}_{>0}$ la serie dei numeri pari rimangono solo i numeri dispari. Possiamo, di nuovo, chiudere tale operazione, in un unico atto interiore, per ottenere: $\mathbb{N}_{dispari} := \{n \in \mathbb{N}_{>0} | \text{non esiste alcun } m \in \mathbb{N}_{>0} \text{ tale che } n = 2m\}$ ovvero la serie dei soli numeri dispari che può ben essere scritta anche nel modo seguente: $\mathbb{N}_{dispari} := \{n \in \mathbb{N}_{>0} | \exists m \in \mathbb{N}_{>0} \text{ tale che } 1 + 2m = n\}$. Naturalmente riunendo le due parti $\mathbb{N}_{pari}$ e $\mathbb{N}_{dispari}$ riotteniamo tutta la serie dei numeri interi positivi; in linguaggio semplificato si scrive: $\mathbb{N}_{>0} = \mathbb{N}_{pari} \cup \mathbb{N}_{dispari}$. Abbiamo spezzato l'indefinità dei numeri interi positivi in due serie distinte. È del tutto intuitivo che una volta date due sotto parti $A$ e $B$ della totalità numerica $\mathbb{N}$ pensata solamente nel suo aspetto quantitativo ci si possa domandare chi abbia più elementi tra $A$ e $B$. Domande quali: "quanti sono i numeri?", "quanti sono i numeri pari?", così formulate costituiscono un'indebita estensione della misura del raggio di applicazione della categoria di quantità. Tuttavia l'atto di confrontare tutta la serie dei numeri con, ad esempio, una sua parte è esattamente la manifestazione del numero nel suo aspetto di misura di tutte le cose. Ora, come misuriamo un insieme finito di numeri $I$? È ovvio che ordiniamo tale insieme, per esempio secondo la grandezza rispettiva e troviamo un primo elemento che associamo al numero 1 poi un secondo elemento che associamo al numero 2 e così via. Se $I$ è l'insieme dei numeri $\{1,3,5,7\}$ e $A$ è l'insieme dei numeri $\{1,2,3,4\}$ allora è chiaro che la misura della grandezza di $I$ è 4 perché abbiamo una procedura chiara $P: \{1,2,3,4\} \to \{1,3,5,7\}$ che permette di fare le seguenti associazioni: $1 \stackrel{P}{\to} 1, 2 \stackrel{P}{\to} 3, 3 \stackrel{P}{\to} 5, 4 \stackrel{P}{\to} 7$. Naturalmente se date due parti $A$ e $I$ di $\mathbb{N}_{>0}$ possiamo stabilire una procedura $P$, che, se applicata ad ogni elemento $a_1 \in A$ restituisca un elemento $i_1 \in I$, ossia se per ogni $a_1 \in A$ esiste un unico $i_1 \in I$ tale che applicando la procedura $P$ a $a_1$ ottengo $i_1$, e se, inoltre, per ogni $a_2 \in A$, $a_2$ diverso da $a_1$ ottengo che la medesima procedura $P$, ma applicata stavolta su $a_2$ produce un elemento $i_2$ di $I$ con $i_2$ diverso da $i_1$ allora la misura associabile ad $A$ è minore o uguale della misura associabile a $I$. Vediamo ora l'esempio di prima con $I = \mathbb{N}_{pari}$, e $A = \mathbb{N}_{>0}$. In questo caso la procedura di raddoppiamento $P: m \to 2m = n$ e la procedura inversa di dimezzamento di un numero pari $P': 2m \to m$ ci dicono che la misura associata a $\mathbb{N}_{pari}$ e quella associata a $\mathbb{N}_{>0}$ coincidono. L'apparente minor quantità dei numeri pari rispetto a quella di tutti i numeri naturali positivi è, appunto, mera apparenza se utilizziamo come strumenti di confronto procedure del tipo $P$ e $P'$. Tuttavia la natura estensionale indefinita di un ente $A$ è proprio data dal fatto che esiste una procedura $P$ che permette di selezionare una sua parte $I$ tale che: 1. per ogni elemento $a$ di $A$ esiste un unico elemento $i$ in $I$ tale che $a \stackrel{P}{\to} i$; 2. se $b$ è un elemento di $A$