Il Metodo di Eulero per le Serie Divergenti
simbolica che principalmente è interessata a ricondurre la somma ad un numero finito che esprima pure qualità piuttosto che determinate quantità. Per la matematica simbolica un'espressione del tipo $1+2+4+8+16+\ldots = -1$ non è di alcun aiuto, non esprimendo alcun carattere qualitativo, ma principalmente un carattere quantitativo.
Come trattare le serie divergenti?
Avendo chiarito l'importanza di trattare le serie divergenti indipendentemente dalla loro incoerenza quantitativa, cerchiamo di capire come possiamo trattare tali serie per arrivare ad un risultato di senso compiuto. I metodi che presenteremo in questa serie di articoli sono principalmente 3:
- il metodo di Eulero;
- il metodo della manipolazione diretta;
- la regolarizzazione attraverso la funzione zeta di Riemann e la funzione di Dirichlet.
A nostro avviso questi tre metodi sono i più fondati e possono essere degli strumenti sufficienti per un matematico esoterico che voglia indagare oltre il velo dell'aspetto quantitativo del numero.
Il metodo di Eulero
Eulero descrive del suo modo di trattare le serie divergenti nelle Institutiones:
Ogni qualvolta una serie infinita è ottenuta come sviluppo di una espressione chiusa, essa può essere usata nelle operazioni come l'equivalente di quell'espressione, anche per i valori della variabile per cui la serie diverge.
La posizione di Eulero riguardo alle serie divergenti è dunque la posizione più semplice possibile: ogni qualvolta è possibile ricondurre con manipolazioni simboliche la serie ad una formula fondamentale, basta estenderla oltre la propria regione di definizione e considerarla sempre valida. Ad esempio, all'epoca era già noto che se un numero $q$ aveva un valore assoluto minore di 1, allora
$$1 + q + q^2 + \ldots = \frac{1}{1-q}$$
Eulero propone di estendere la validità della formula anche per valori di $q$ maggiori di 1.
Il punto di vista di Eulero, sebbene apparentemente naive, fu reso rigoroso nella prima metà del XX secolo, dopo le conquiste dell'analisi complessa avvenute nel XIX secolo e vogliamo qui rendere il discorso più preciso per coloro che hanno gli strumenti matematici necessari.
Il metodo di Eulero è una forma speciale di prolungamento analitico. Supponiamo di avere una serie divergente avente termini $\{a_0, a_1, a_2, \ldots\}$, in altri termini di voler trovare la somma
$$a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots \quad (12)$$
Il metodo di Eulero consiste nell'associare a detta serie, una funzione $f(x)$ definita da una serie di potenze avente per coefficienti i termini della serie, i.e.
$$\{a_0, a_1, a_2, \ldots\} \rightarrow f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \quad (13)$$
e notare che lasciando tendere $x$ a 1 il valore della funzione $f(x)$ è uguale al valore della serie, i.e.
$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots) \quad (14)$$
$$= a_0 + a_1 + a_2 + \ldots \quad (15)$$
Al momento questa riflessione non ci è particolarmente utile perché se provassimo a calcolare il limite $x \to 1$ di $f(x)$ ci troveremmo nello stesso problema. Tuttavia, supponiamo di conoscere un altro modo di scrivere $f(x)$ e che in questo nuovo modo non vi siano problemi in calcolare $f(1)$, allora avremmo trovato un candidato ideale per assegnare un valore finito alla nostra serie divergente.
Il vantaggio di questo approccio si ottiene attraverso l'uso dei numeri complessi. In questo campo esiste un teorema dovuto a Liouville che identifica funzioni olomorfe, ovvero derivabili in senso complesso, con le funzioni analitiche ovvero ottenute come serie di potenze come nel caso di $f(x)$. Tale identificazione ci fornisce due modi distinti di guardare alla stessa funzione e quindi due modi distinti per calcolare il nostro valore $f(1)$.
Facciamo un esempio con la serie (10)
Procediamo definendo la funzione analitica $f(x)$ associata alla serie, i.e.
$$f(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \ldots \quad (16)$$
tuttavia questa non è altro che lo sviluppo in serie di Taylor in 0 della funzione olomorfa in 0
$$f(x) = \frac{1}{1-2x} \quad (17)$$
Tuttavia, in questa formulazione non abbiamo alcun problema a calcolare $f(1)$ che risulta essere $-1$. Ecco quindi che abbiamo trovato il risultato della nostra serie in (10) ovvero
$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots = -1 \quad (18)$$
Alcuni risultati notevoli con il metodo di Eulero
Il metodo di Eulero per quanto semplice è essenzialmente corretto e permette di trovare la somma di numerose serie, alcune delle quali molto famose come ad esempio la serie di Fibonacci, la serie di Lucas e la serie geometrica. Sul significato simbolico e aritmetico della serie di Fibonacci sicuramente tratteremo in un articolo, e per certo già tanti ne sono stati scritti. Tuttavia, nessuno a mia conoscenza ha mai presentato la somma compiuta di tale serie divergente. La serie in questione è data dalla somma