Serie Divergenti e Interpretazione Quantitativa

Dal punto di vista quantitativo l'equazione $(9)$ è assurda, eppure matematicamente corretta. In questa serie di articoli vogliamo mettere in crisi definitivamente l'interpretazione unilaterale dei numeri come quantità. Dato che l'argomento sarebbe proprio di una matematica post-universitaria, vogliamo qui presentarlo in modo semplice e senza complicazioni, permettendo a tutti di accedere a questa tematica generalmente riservata agli specialisti. Sarebbe facile per noi trattare in modo assolutamente rigoroso l'argomento introducendo i numeri complessi, funzioni olomorfe, loro identità con funzioni analitiche, da qui il teorema di Liouville, l'unicità delle funzioni analitiche e, infine, l'idea del prolungamento analitico. Da qui dovremmo poi cominciare la vera esposizione parlando delle serie divergenti, ma tutto questo non farebbe altro che alienare il lettore non avvezzo al formalismo e alla terminologia matematica, mentre annoierebbe quello avvezzo. Chiunque sia in grado di notare le inesattezze qui riportate, purtroppo inevitabili quando si vuole produrre uno scritto divulgativo, sarà anche esperto a sufficienza da poter colmare rigorosamente da solo tali inesattezze e confermare la correttezza essenziale dell'esposizione. Per coloro invece che, incuriositi dall'argomento, abbiano gli strumenti matematici e la volontà di approfondire, consigliamo la lettura dell'ormai classico Divergent Series di G. H. Hardy. Cominciamo definendo cosa è una serie divergente. Prima di tutto, una serie è una somma con un numero infinito di termini. Una serie, secondo la matematica elementare, può essere convergente se tende ad un valore ben definito e quindi se possiede una somma finita; oppure può essere non convergente, ovvero se non tende ad un unico valore ben definito. Se la serie non tende ad un unico valore ben definito, essa può avere due comportamenti notevoli: può crescere nel suo valore assoluto in modo indefinito ed essere dunque divergente, oppure non avere alcun limite ed essere dunque irregolare. Presentiamo immediatamente tre casi esemplificativi: $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$$ Siamo in presenza di una serie convergente. In questo caso, la somma della serie è un numero finito e noto, ovvero il numero $2$. Eseguendo la somma di un gran numero di termini consecutivi notiamo, infatti, che questa somma si avvicina in modo asintotico al numero $2$. $$1-1+1-1+\cdots$$ In questo caso, se sommiamo fra di loro i termini uno ad uno, otteniamo due valori distinti cioè $0$ oppure $1$ a seconda se sommiamo un numero pari o dispari di termini. Non avendo un limite unico questa serie si dice irregolare, nello specifico si dice oscillante perché il suo valore oscilla fra i due valori $0$ e $1$. $$1+2+4+8+16+\cdots$$ Sommando i termini della serie fra di loro otteniamo un numero che diventa sempre più grande. Siamo perciò in presenza di una serie divergente. Per indicare la crescita indefinita della serie, si usa il simbolo dell'infinito $\infty$. In che modo una somma possa essere infinita. Prima di procedere oltre dobbiamo dare un senso alla divergenza di una serie, ovvero in che modo possiamo dire che: $$1+2+4+8+16+\cdots=\infty \quad (10)$$ È chiaro che questo è un segno convenzionale, ma, dato che può generare molti fraintendimenti, è necessario soffermarci un attimo nell'analisi di questa notazione. Concettualmente dobbiamo distinguere due tipologie fondamentali di infinito: la prima è l'infinito attuale, ossia l'affermazione totale assoluta di tutte le qualità e dunque decisamente trascendente rispetto alla Creazione; in secondo luogo, l'infinito come espressione di un continuo divenire che esprime il senso di "indefinito" o "indeterminabile". In questo ultimo caso il simbolo $\infty$ esprime un continuo susseguirsi di tesi e antitesi senza il traguardo della sintesi. Quando scriviamo $1+2+4+8+16+\cdots=\infty$ stiamo sicuramente considerando l'infinito nella sua seconda accezione: difatti, da un punto di vista matematico stiamo semplicemente dicendo che, dato qualsiasi numero formulabile, la somma risultante è maggiore di tale numero e pertanto è indefinita o indeterminabile. Ma cosa è indeterminabile? Chiaramente la quantità indicata dalla serie, non la sua qualità che è essenzialmente espressa dal numero $2$, dato che la serie in questione non è altro che una serie di potenze di $2$, i.e.: $$1+2+4+8+\cdots = 2^0+2^1+2^2+2^3+\cdots \quad (11)$$ L'equivalenza $1+2+4+8+16+\cdots=\infty$ vuole esprimere in effetti la nostra impossibilità ad assegnare un valore quantitativo specifico alla somma. Questa considerazione non è dunque di alcun aiuto alla matematica.