Analisi di Fourier e Gruppi Topologici: Dall'Acustica Musicale alla Fisica Matematica

di loro: i termini della sommatoria $f_c e^{inx}$ sono chiamati i modi di Fourier e i coefficienti $c_n$ identificano l'ampiezza delle armoniche. Già a questo punto possiamo notare la nascosta importanza della natura topologica dell'insieme di definizione della funzione. Infatti, se la funzione è periodica di periodo $2\pi$, equivalentemente essa può essere anche pensata come una funzione definita su una circonferenza unitaria. I coefficienti $c_n$ della serie di Fourier infatti sono ottenuti semplicemente da una specie di media ponderata della funzione definita sul cerchio, i.e. $$c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}dx \qquad (37)$$ Questa scomposizione in modi di Fourier è la traduzione matematica del fenomeno di acustica musicale che precedentemente abbiamo descritto con la corda vibrante. Se nel paragrafo precedente abbiamo dovuto insistere sul fatto che le due estremità della corda fossero fisse, qui abbiamo dovuto insistere sulla periodicità della funzione. In entrambi i casi la richiesta fatta era equivalente al richiedere che la nostra funzione fosse definita su una circonferenza. Ora utilizzeremo alcuni teoremi di matematica contemporanea per generalizzare questo fenomeno di fisica acustica ad altri fenomeni e contesti modellizzati attraverso un gruppo $G$ che mantenga inalterata la struttura matematica della circonferenza. Cosa voglia dire mantenere inalterata la struttura matematica della circonferenza è qualcosa di un po' ambiguo, potremmo richiedere che esista un isomorfismo fra $G$ e la circonferenza unitaria del piano complesso dotata della usuale moltiplicazione, i.e. $S^1 = \{z \in \mathbb{C}: |z| = e^{i\theta}, \theta \in \mathbb{R}\}$. Tuttavia, uno studio più accurato della circonferenza $S^1$ ci permette di identificare due caratteristiche fondamentali, che sono quelle che effettivamente generalizzano al massimo il concetto di circonferenza: la compattezza di $S^1$ e la sua abelianità, i.e. $z_1 z_2 = z_1 + z_2$. (38) Se precedentemente ci eravamo concentrati sul fenomeno acustico dell'eccitazione di una corda e $G$ indicava una corda vibrante dai due estremi fissi, stavolta $G$ può essere equivalentemente il bordo di un bicchiere di vetro, l'orbita terrestre attorno al Sole, una stringa relativistica vibrante, il ciclo temporale giorno/notte, un ciclo biologico cellulare e più in generale qualsiasi fenomeno che possa essere modellizzato attraverso l'uso di un gruppo topologico compatto e abeliano. Dato $G$ un gruppo topologico compatto e abeliano, consideriamo adesso il duale di Pontryagin di $G$ ovvero $\hat{G}$ come il gruppo degli omomorfismi di $G$ nella circonferenza $S^1$ precedentemente definita, i.e. $\hat{G} = \text{Hom}(G, S^1)$. Se $G$ è compatto allora si può dimostrare che $\hat{G}$ è discreto. Nel fenomeno acustico musicale considerato, la corda era eccitata attraverso un pizzico che veniva poi decomposto in armoniche o "modi normali" o "modi di Fourier". Lo strumento matematico per generalizzare il concetto dell'eccitazione meccanica della corda del nostro esempio sarà quello di considerare le funzioni a quadrato integrabile sul gruppo, i.e. $L^2(G)$. Si può dimostrare un elemento arbitrario $f \in L^2(G)$ può essere decomposto in funzione di elementi del duale di Pontryagin. Se il gruppo $G$ è compatto, allora, essendo $\hat{G}$ discreto, l'elemento $f$ sarà ottenuto attraverso la sommatoria di elementi $\hat{f}(\chi)$ che rileviano la funzione dei coefficienti di Fourier dell'esempio precedente e che sono ottenibili attraverso la $$\hat{f}(\chi) = \sum_{x \in G} f(x)\chi(x) \qquad (39)$$ dove $\chi \in \hat{G}$. È dunque importante comprendere che per qualsiasi gruppo topologico compatto e abeliano sussiste un equivalente perfetto della decomposizione in armoniche e in serie di Fourier la quale è in effetti profondamente legata alle proprietà topologiche e geometriche del cerchio. Se rilassiamo le condizioni di compattezza e di abelianità abbiamo infatti risultati similari ma non equivalenti. Se sostituiamo la richiesta di uno spazio topologico abeliano e compatto con uno abeliano e solo localmente compatto, allora avremo che i risultati descritti rimangono inalterati ma il duale di Pontryagin non sarà più discreto, ma continuo anche se compatto. Questo vuol dire che non avremo più un numero di armoniche in corrispondenza con i Numeri Naturali, ma un numero continuo di armoniche da tenere di conto. Viceversa, se cediamo sull'abelianità del gruppo sarà possibile avere qualcosa di simile attraverso il teorema di Peter-Weyl, dove tuttavia dovremo considerare, invece che le rappresentazioni di $G$ sulla circonferenza $S^1$, tutte le rappresentazioni unitarie irriducibili di dimensione finita del gruppo $G$. Qui si evidenzia il punto cruciale dato dal fatto che le rappresentazioni unitarie irriducibili di un gruppo abeliano sono di dimensione 1 e quindi nel caso compatto equivalgono agli omomorfismi di $G$ in $S^1$. Riassumendo: il fenomeno di acustica musicale descritto nel precedente paragrafo, la scomposizione di una eccitazione...