π e il Prodotto di Tutti i Numeri Naturali

cubo, ovvero a quelle trasformazioni rigide dello spazio che mandano il cubo in sé stesso; qui ci limitiamo a ricordare che esse sono 48, ovvero $4!2$.

$\pi$ e il prodotto di tutti i numeri naturali (Tabit)

Coloro che si trovano astretti in una visione quantitativa della Matematica, hanno grande difficoltà nel comprendere il profondo significato di alcune formule della matematica contemporanea. In particolare quelle che coinvolgono serie e produttorie divergenti, che mostrano dei valori apparentemente assurdi, se avvicinati secondo una ristretta mentalità quantitativa, ma che, invece, non hanno solo un significato nella pura teoria matematica, ma sono anche compenetrati nella realtà resa visibile dalla Fisica-Matematica.

Uno di questi risultati, circa il quale, certamente, scriveremo in uno dei prossimi Numeri, è la nota somma di Ramanujan, relativa al triangolare dell'infinito $\Delta(\infty)$, i.e.

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12} \tag{9}$$

Questa formula relativa alla somma di tutti i numeri naturali stride incredibilmente con il concetto quantitativo dei numeri, al quale molti, incapaci di andare oltre le limitazioni opportune dell'insegnamento elementare, sono ancorati. Sulla formula (9) dedicheremo un lungo articolo e dunque non ci dilungheremo in questa sede.

Qui vogliamo invece focalizzarci su un'altra formula, che merita decisamente la nostra attenzione, ovvero quella relativa, non alla somma dei Numeri Naturali, ma al loro prodotto. La formula che vogliamo diventi base per la meditazione tra gli studiosi del simbolismo dei numeri è la seguente

$$1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot 5^2 \cdot 6^2 \cdots = 2\pi \tag{10}$$

Brevi cenni alla dimostrazione della formula

Dato che la formula in questione non rientra negli usuali percorsi di formazione universitaria, vogliamo anche dare un cenno di come si raggiunge questo risultato, che altrimenti potrebbe apparire alquanto arbitrario.

Il punto di partenza è dato dalla proprietà additiva del logaritmo, grazie alla quale abbiamo modo di trasformare una produttoria in una sommatoria, attraverso l'equivalenza formale

$$\log \left(\prod_{n=1}^{\infty} a_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \log(a_n) \tag{11}$$

Utilizziamo ora una relazione classica della differenziazione: $\frac{d}{ds}(a^s) = a^s \log(a)$, e possiamo riscrivere la precedente nella forma seguente:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \log(a_n) = \frac{d}{ds}\sum_{n=1}^{\infty} a_n^s \bigg|_{s=0} \tag{12}$$

e quindi dalla (12) abbiamo che

$$\prod_{n=1}^{\infty} a_n = \exp(-\zeta_a'(0)) \tag{13}$$

dove la funzione $\zeta$ è la funzione zeta di Riemann generalizzata data da

$$\zeta_a(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{-s} \tag{14}$$

La (13) costituisce la definizione di prodotto regolarizzato attraverso la funzione zeta. Questa nuova definizione permette di calcolare in molti casi divergenti il risultato della produttoria.

Ad esempio, già Riemann aveva scoperto che

$$\zeta'(0) = -\frac{1}{2}\log(2\pi) \tag{15}$$

dove $\zeta(s)$ è la celeberrima funzione zeta di Riemann:

$$\zeta(s) = 1^{-s} + 2^{-s} + 3^{-s} + 4^{-s} + \cdots \tag{16}$$

Applicando alla (13) la (15), otteniamo la proprietà mirabile:

$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdots = \sqrt{2\pi} \tag{17}$$

Nel caso dei prodotti regolarizzati valgono le seguenti proprietà operazionali:

$$\prod_{n \in I \cup J} a_n = \prod_{n \in I} a_n \prod_{n \in J} a_n \tag{18}$$

$$\prod_{n \in I} a_n^k = \left(\prod_{n \in I} a_n\right)^k \tag{19}$$

$$\prod_{n \in I} ca_n = c^{\zeta(0)} \prod_{n \in I} a_n \tag{20}$$

che permettono di rendere la (17) ancora più suggestiva, i.e.

$$1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot 5^2 \cdot 6^2 \cdots = 2\pi \tag{21}$$

Analisi della formula

Il carattere sintetico della Matematica rende l'analisi discorsiva di un'identità matematica generale come (21) necessariamente incompleta. In generale, possiamo sempre applicare simbolicamente un'identità matematica su tre fondamentali stati: lo stato dell'essere individuale (microcosmo), lo stato dell'essere in generale (macrocosmo) e poi vi è la metafisica reale vera e propria, che considera il tutto nella sua universalità.

Qui siamo interessati all'analisi della (21) nel suo aspetto macrocosmico. Se ci riferiamo a questo piano, i singoli Numeri rappresentano delle qualità o idee ed il loro quadrato rappresenta la loro espressione fenomenica o materializzazione. Il quadrato infatti esprime in sé l'idea di espansione così come quella di manifestazione ben ordinata.

Secondo la dottrina dello Tzim-Tzum, l'Assoluto, quando volle rivelarsi, circoscrisse un luogo dal quale ritrarsi, per poi tornarvi con l'atto creativo per mezzo delle sue Divine Energie increate.

Il prodotto dei quadrati che appare alla sinistra della (21), da un punto di vista geometrico, rappresenta un ipervolume di un parallelepipedo infinito-dimensionale avente per facce il quadrato dei singoli numeri. Allo stesso tempo, da un punto di vista simbolico rappresenta l'indefinita espressione e produzione fenomenica data dall'azione dei Numeri nel Cosmo.

Le singole qualità dei Numeri si manifestano e materializzano attraverso i singoli quadrati e interagiscono fra di loro attraverso un prodotto indefinito.

Dall'altro lato dell'identità abbiamo $2\pi$ che altro non è che il perimetro della circonferenza. Se dunque da una parte abbiamo la realizzazione volumetrica infinito-dimensionale data dalla produttoria, dall'altra abbiamo la semplice misura perimetrica relativa a un'atto di circoscrizione operato dal Numero 1.

In questo caso la circonferenza rappresenta la frontiera, il limite, aldilà del quale si trova il vero Infinito. L'atto di circoscrizione ad opera dell'1, attraverso cui l'Essere