Fondamenti Geometrici: Simplessi e Numeri Figurati
vista geometrico: esso è il poliedro regolare con minor numero di vertici. L'essere il poliedro regolare con minor numero di vertici fa sì che questa forma possa essere usata per scomporre tutte le altre forme tridimensionali, perciò in un certo senso il tetraedro può essere considerato come il generatore o l'atomo geometrico fondamentale della geometria solida. Allo stesso modo il triangolo è il poligono regolare con minor numero di vertici possibili. Poiché il triangolo è il poligono con minore numero di vertici, esso viene usato per scomporre tutte le altre forme della geometria piana e pertanto in un certo senso il triangolo può essere considerato il generatore o l'atomo fondamentale della geometria piana. Come per il tetraedro in tre dimensione ed il triangolo in due dimensione, allo stesso modo per ciascuna dimensione maggiore di 3 esisterà una figura fondamentale contenente il minor numero possibile di vertici: questa figura sarà chiamata $k$-simplesso in relazione alla dimensione $k$ considerata. Questa figura ricoprirà nella sua rispettiva dimensione la stessa importanza che il triangolo o il tetraedro ricoprono rispettivamente in due o tre dimensioni: questa sarà dunque considerata come il generatore o l'atomo fondamentale delle figure della sua dimensione. I numeri figurati la cui disposizione geometrica interna rimanda a questi simplessi si chiamano numeri simpliciali. Questi vengono indicati con il simbolo $\triangle_k$ in relazione alla dimensione $k$ considerata: numeri triangolari $\triangle_2$: in relazione al triangolo atomo geometrico fondamentale in 2 dimensioni. $1;3;6;10;15;21;28; \ldots$ numeri tetraedrici $\triangle_3$: in relazione al tetraedro atomo geometrico fondamentale in 3 dimensioni. $1;4;10;20;35;56;84; \ldots$ numeri pentatopici $\triangle_4$: in relazione al pentatopo atomo geometrico fondamentale in 4 dimensioni. $1;5;15;35;70;126;210; \ldots$ numeri 5-simpliciali $\triangle_5$: in relazione al 5-simplesso atomo geometrico fondamentale in 5 dimensioni. $1;6;21;56;126;252; \ldots$ Se vogliamo generalizzare la successione noteremo che la sequenza dei numeri $n$ simpliciali $\triangle_n$ sarà costituita dall'$(n+1)$ numero delle altre sequenze simpliciali. Più nello specifico: $$\triangle_n = \left\{1, (n+1), \frac{1}{2}(n+1)(n+2), \frac{1}{6}(n+1)(n+2)(n+3), \ldots\right\}$$ Non è difficile notare come questi numeri non siano altro che le colonne del triangolo di Pascal che abbiamo visto nel secondo capitolo. Come i simplessi possono essere considerati gli atomi geometrici fondamentali delle figure della loro dimensione, così i numeri simpliciali possono essere considerati i mattoni fondamentali di tutti numeri figurati. Ad esempio ogni numero quadrato può essere scritto come somma di due numeri triangolari consecutivi, come pure ogni numero poligonale può essere decomposto in somma dei numeri triangolari consecutivi. Allo stesso modo ogni numero riferentesi ad un poliedro regolare può essere scritto come somma di numeri tetraedrici ed ogni numero facente riferimento ad un politopo regolare può essere scritto come somma di numeri simpliciali relativi alla dimensione in cui è concepito. Fra tutte queste formule costruttive abbiamo pensato però di evidenziarne una decisamente più affascinante di tutte le altre e che permette di derivare tutti i numeri figurati da una semplice somma reiterata di numeri triangolari. Lo studio sistematico dei numeri figurati nasce con lo studio sistematico della scala musicale ad opera di Pitagora. In tale ottica le relazioni analogiche fra i due concetti sono numerose, perciò sceglieremo di analizzare, fra queste, una meno nota che lega le armoniche musicali alle dimensioni spaziali in cui i numeri figurati sono rappresentati. Infatti se sommiamo i reciproci dei