Grafi Completi e il Triangolo di Pascal: Genesi Simbolica Matematica
Dal punto di vista teorico dunque una vasta branca dell'algebra e della geometria che si occupa dello studio dei gruppi finiti può essere ricondotta allo studio delle simmetrie di un grafo completo.
Figura 11: Successione di grafi completi. Il grafo completo con $n$ vertici viene generalmente indicato come $K_n$. Il numero di lati distinti di $K_n$ sono $\frac{n(n-1)}{2}$.
Figura 12: Ogni grafo completo $K_n$ può essere pensato come il grafo delle linee della stella $S_{n+1}$.
Genesi simbolica dei grafi completi. I grafi completi sono l'esplicazione del rapporto fra un numero e l'unità, pertanto ne rappresentano la plenitudine. Ogni grafo completo infatti può essere ottenuto a partire da una stella avente tanti vertici esterni quanti il numero che si vuole studiare ed un vertice centrale che unisce fra loro tutti gli altri. Questo genere di grafo si chiama a stella e viene a volte indicato con il nome $S_{n+1}$, oppure come $K_{1,n}$. Il grafo delle linee di questa stella è sempre un grafo completo.
Questa proprietà dei grafi completi ne chiarisce anche il significato simbolico. Un grafo completo altro non è che la massima espressione, la plenitudine di un numero. Il ruolo dell'unità in questo contesto è determinante. Se infatti togliessimo l'unità centrale agli altri vertici, essi rimarrebbero sconnessi ed isolati e la loro espressione sarebbe nulla.
La pienezza del grafo delle linee risultante trae la sua origine dal convergere di tutti i vertici verso l'unico punto centrale. È infatti proprio questo legame la causa che produce il massimo numero di lati possibile. Poiché ogni vertice è in contatto con il punto centrale, ogni punto è in contatto con tutti gli altri, cioè ogni punto ha un rapporto con tutti gli altri. Ovvero, in altre parole il numero dei rapporti è il massimo possibile, perciò il grafo delle linee è un grafo completo. Dunque solo nell'unità ed in virtù dell'unità è possibile raggiungere la totalità e formare dunque l'unitotalità, la piena e perfetta affermazione dell'unità nella sua forza e potenza.
La Genesi delle Forme Geometriche. Tutte le forme geometriche in senso astratto nascono dal Cerchio e dal Punto. Dal Cerchio in quanto limitazione di un spazio fluido vuoto, privo della potenza divina e nel quale sboccerà tutta la Creazione; e dal Punto in quanto sorgente originale, polarizzatrice e dinamizzante di ogni Forza Spirituale. Nel luogo circoscritto dal Cerchio e dinamizzato dal Punto avviene la Creazione ed in esso nascono e vivono tutte le forme geometriche.
In un prossimo articolo tratteremo approfonditamente una costruzione aritmetica molto importante, oggi sotto il nome di triangolo di Pascal, ma conosciuta in passato come la Scala Sacra del Monte Meru. Questa costruzione, nota almeno dal III d.C., ma con ogni probabilità ancora precedente, nella moderna notazione assume questa forma:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
......
Chi conosce lo sviluppo di una sequenza sa che tale triangolo può essere ottenuto attraverso sviluppi reiterati a partire dalla sequenza fondamentale $\{1,1,1,1,1,1,1,\ldots\}$. Questa sequenza, una volta sviluppata ad ottenere una nuova sequenza $\Delta\{1,1,1,1,\ldots\}=\{1,2,3,4,\ldots\}$; che a sua volta, può essere sviluppata ottenendo $\Delta\{1,2,3,4,\ldots\}=\{1,3,6,10,15,\ldots\}$:
Il processo può essere reiterato indefinitamente ottenendo così tutte le colonne del triangolo di Pascal, i.e.
$\Delta^1(1\ 1\ 1\ 1\ \ldots) = 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ \ldots$
$\Delta^2(1\ 1\ 1\ \ldots) = 1\ 3\ 6\ 10\ \ldots$
$\Delta^3(1\ 1\ \ldots) = 1\ 4\ 10\ \ldots$
$\Delta^4(1\ \ldots) = 1\ 5\ \ldots$
$\ldots\ldots\ldots$
Figura 13: Il grafo completo di cinque elementi $K_5$ contiene 5 $K_4$ ovvero quadrati, 10 $K_3$ ovvero triangoli, 10 $K_2$ ovvero linee, 5 $K_1$ ovvero punti e 1 $K_0$ dove per $K_0$ abbiamo inteso il cerchio senza punti. È importante da un punto di vista simbolico notare come le figure considerate suggeriscano un movimento ciclico interno al grafo.
Il metodo in questione è estremamente