Trasformazioni Geometriche e l'Apeìrogono

maggiore e uguale a zero e minore o uguale a $360°$) la corrispondente rotazione; ma questo è un vedere e un costruire secondo uno sviluppo indefinito, che quasi evocherebbe un'erronea forma lineare. In realtà la geometria delle trasformazioni dimostra nel modo più rigoroso possibile che lo spazio di tutti gli spostamenti dati dalle rotazioni attorno ad un asse fissato ha la forma esatta di una circonferenza. La totalità in questione, quella data dalle rotazioni attorno ad un asse fissato, è colta in un colpo solo nella forma della perfetta circolarità. Le proprietà che possiamo trovare o utilizzare circa le rotazioni piane, in un modo più o meno visibile sono legate a questa forma primordiale della circolarità. La legittimità di ogni nostra deduzione, applicazione e financo possibilità d'uso pratico nei vari ingranaggi di una qualsivoglia ingegneria, mai potranno sfuggire dalla proprietà di circolarità insita nella forma dello spazio di tutte le rotazioni: chi vi proverà incautamente, finirà soltanto con un inutile lavoro di distruzione di ingranaggi, non certo con l'edificare meraviglie leonardesche.

Un'altra visualizzazione utile al fine di realizzare in sé medesimi il concetto di infinito attuale e quindi di poter serenamente mantenere un'equilibrata tensione tra la libertà interpretativa fondata sul raggiungimento di un'effettiva comprensione di certi stati interiori, e un'armonica azione nel mondo è fornita dall'Apeìrogono. L'Apeìrogono è un poligono regolare con infiniti lati, oggetto di studio nella geometria iperbolica. Per avvicinarci all'intuizione dell'Apeìrogono, cominciamo a fare delle semplici costruzione mentali con la geometria euclidea. Disponiamo infiniti segmenti di misura $2$ lungo una linea retta in modo che ciascuno abbia l'estremo sinistro in comune con il segmento precedente e l'estremo destro in comune con il segmento successivo. Per affinare la nostra intuizione questa costruzione potrebbe essere associata ad una circonferenza di raggio infinito ottenuta come limite per $n$ che tende all'infinito della circonferenza di raggio $n$ nella quale sia iscritto il poligono regolare di $n$ lati.

Seguendo questo sviluppo indefinito l'Apeìrogono avrebbe una natura assai simile a quella di una retta. Se, invece, procedessimo fissando la circonferenza e considerassimo poligoni iscritti con un numero di lati indefinitamente crescente, l'Apeìrogono sarebbe il limite di tali poligoni regolari e dunque coinciderebbe con la circonferenza; ma non è questa la realtà dell'Apeìrogono. Concepirlo in tal modo è errato. In effetti è possibile dimostrare rigorosamente che vi è un solo tipo di Apeìrogono regolare nella geometria euclidea, quello che abbiamo descritto per mezzo di una successione lineare di segmenti, e nessun tipo di Apeìrogono regolare nella geometria bidimensionale a curvatura positiva. Non sorprendentemente esistono infiniti tipi di Apeìrogoni nella geometria iperbolica, quella con curvatura negativa.

Come per molte altre costruzioni della geometria iperbolica è difficile procedere nella loro visualizzazione. Tuttavia, così come la proiezione di Mercatore della sfera, alla base della costruzione di molte carte geografiche, permette, distorcendo le figure ma mantenendone gli angoli, di visualizzare nel piano euclideo ciò che in realtà vive sulla sfera, così Poincaré ha costruito dei modi per visualizzare le costruzioni della geometria iperbolica per mezzo di figure della geometria piana euclidea sapientemente interpretate. Per esempio, il cerchio unitario privato della sua circonferenza esterna fornisce un bel modello per la geometria piana non euclidea a curvatura negativa. I punti dentro al cerchio sono i punti della geometria iperbolica, gli archi delle circonferenze che sono perpendicolari alla circonferenza unitaria e che sono contenuti dentro il cerchio unitario sono le rette della geometria iperbolica e le circonferenze interamente contenute dentro il cerchio sono le circonferenze della geometria iperbolica.

Vi sono poi delle circonferenze che sono interne al cerchio e tangenti in un punto la circonferenza unitaria. Tali oggetti della geometria iperbolica sono chiamati orocicli. Ogni Apeìrogono della geometria iperbolica è iscritto in uno di tali orocicli. La geometria iperbolica permette di iscrivere un poligono di infiniti lati, tutti della medesima lunghezza, dentro l'orociclo. Nel modello di Poincaré i lati appaiono di lunghezza decrescente man mano che ci si avvicina al punto di tangenza. Tale distorsione è intrinseca al modello, ma per la metrica iperbolica piccoli segmenti euclidei vicini al punto di tangenza hanno la stessa lunghezza di segmenti vicini al centro del cerchio ma che risultano più lunghi dei precedenti se misurati con la metrica euclidea classica.

Ecco che prendendo come supporto il modello di Poincaré possiamo far nascere in noi, prima l'idea di un poligono di infiniti lati costruiti in successione e poi concepire l'Apeìrogono, senza il modello, con i lati dati tutti insieme in un unico atto della mente, ma non disposti in successione lineare indefinita.