Geometria Sferica e Iperbolica: Interpretazioni Simboliche

Nel caso della geometria sferica, il cammino di minima distanza tra due punti P e Q è dato dall'arco di cerchio massimo passante per P e Q e di lunghezza minore; il ruolo che le rette hanno nella geometria euclidea del piano è svolto, nella geometria sferica, dalle circonferenze di lunghezza massima, quelle, appunto, che delimitano i cerchi di lunghezza massima, ottenuti sezionando la sfera con i piani passanti per il centro della sfera. È una geometria che, vista con occhio euclideo, non ha un buon analogo per la nozione di parallelismo. In particolare, in essa il quinto postulato di Euclide non vale; anzi è immediatamente visibile che ogni coppia di archi di cerchio massimo si interseca esattamente in due punti. È qui facile intuire che, se si assume la retta euclidea come simbolo di una vita condotta secondo retti principi, spingendo il nostro punto di vista più in alto, e ponendoci nell'istante in cui tutto è compiuto, simbolicamente, quando si passi dalla geometria euclidea a quella sferica, ogni retta mantiene una bipolarità comune con ogni altra linea della stessa natura. Sul significato spirituale di questa bipolarità nel mondo della pienezza si potrebbero scrivere interi trattati. Se osiamo spingere la nostra intuizione ad un grado più universale, simbolicamente aumentando il raggio della sfera indefinitamente, troviamo come limite della successione delle sfere, ma fuori della successione da loro individuata, un'altra geometria, la geometria proiettiva reale tridimensionale. Quest'ultima geometria è la base per utilizzare il simbolismo geometrico dalla parte dell'essenza rispetto a quello, fin qui adottato, che orienta la nostra comprensione dalla parte della sostanza. Tale punto di vista proiettivo e polare non può esser descritto in questo lavoro, ma rappresenta un punto di vista più principiale, che non dovrebbe esser ignoto ai Maestri Massoni. È forse meno noto che l'essere la somma degli angoli interni di un triangolo uguale a $180°$ o l'essere il piano euclideo una varietà bidimensionale a curvatura nulla sono, nel mondo della geometria, fatti equivalenti. È meno noto che la somma degli angoli interni di un triangolo sferico è sempre maggiore di $180°$; ciò può simboleggiare in modo assai evidente come, nel passaggio ascensionale da una situazione piana, legata in un dato equilibrio, a un'espansione sferica, simbolo di una reale elevazione spirituale, qualche cosa sia aumentato. Triangoli e geometria iperbolica. L'elevazione spirituale simboleggiata con il passaggio dalla geometria piana a quella sferica ammette un ulteriore movimento, discendente, risultato di un'autocosciente visione spirituale. Non è affatto difficile associare tale movimento discendente ad una ridiscesa nel mondo, nella quale ogni azione diviene un'azione giusta, rituale. L'esatta via del ritorno è quanto di più nascosto vi sia all'interno dell'interiorità dell'iniziato, e ciascuno ha la propria via, che è segreta per tutti gli altri, non visibile, non misurabile, non prevedibile. Rispetto alla scelta e alla necessità intra-mondana di percorrere l'unica via di giustizia, quando muoversi, agire e patire deve essere compiuto seguendo una sola linea di rettitudine, quando veramente a partire da qualsivoglia punto una ed una sola è la via retta che passa per esso e avente la direzione data dai dettami della norma, ora, discendendo dal mondo che sta in alto, è un numero indefinito, il numero di rette di verità che gli iniziati possono percorrere a partire da un qualsivoglia punto pur rimanendo nella giustizia e nell'unica verità. Un simbolismo geometrico associabile a tale via del ritorno è quello fornitoci dalla geometria di una disposizione di punti che si organizza in una varietà a curvatura negativa. Una caratteristica di tale geometria è che in essa la misura dell'area di un triangolo dipende solo dagli angoli. Infatti ricordando che con $\pi$ si intende il numero trascendente che rappresenta il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del relativo diametro, si ha che la misura dell'area di un triangolo della geometria iperbolica avente angoli nei rispettivi vertici di valore $a$, $b$, $c$ è uguale al numero $\pi - (a+b+c)$, e ciò indipendentemente dalla lunghezza dei lati del triangolo. Questa è una proprietà veramente sorprendente. Nella geometria a curvatura negativa tutti i triangoli con lati anche estremamente lunghi ma con angoli al vertice fissati, a differenza dell'analogo caso dei triangoli simili della geometria euclidea, hanno la stessa misura per la rispettiva area. Né possiamo qui tacere che ogni quadrilatero iperbolico ha somma degli angoli interni che è sempre minore di $2\pi$, in particolare l'angolo giro non è ottenibile tramite la circuitazione lungo i lati di un quadrilatero regolare e neppure che nella geometria iperbolica, non esiste l'analogo del quadrato e, infine, che per ogni misura di angolo uguale a $\alpha$ dove $\alpha < 60°$, esistono triangoli...