Poliedri Regolari e Solidi Platonici: Proprietà Geometriche e Tassellazione Pitagorica

Questi sono tetraedro, ottaedro e icosaedro rispettivamente; 5. Se $p = 4$, quindi nel caso di facce quadrate, ogni vertice di un quadrato è di $90°$ e dunque c'è solo una disposizione possibile con $q = 3$, ovvero con tre facce ad un vertice come nel caso del cubo. 6. Se $p = 5$, ovvero nel caso di facce pentagonali, ogni vertice è $108°$; di nuovo, è possibile solo una disposizione con $q = 3$ dunque con tre facce ad un vertice, il dodecaedro. Complessivamente abbiamo così 5 poliedri regolari convessi possibili che sono: $\{3;3\}$ tetraedro; $\{3;4\}$ ottaedro; $\{3;5\}$ icosaedro; $\{4;3\}$ cubo o esaedro; $\{5;3\}$ dodecaedro. Questi sono i cosiddetti solidi platonici, chiamati dai pitagorici «figure cosmiche» perché regolatrici e significatrici dei cinque elementi. Caratteristiche significative Ogni poliedro uniforme è il risultato tridimensionale dell'azione conciliata e congiunta di uno o più Numeri che ne determinano le caratteristiche essenziali. Identificare i Numeri che sono all'origine del solido ci permette di avere un'intuizione migliore della sua forza e della realtà spirituale alla quale si connette. I numeri di Schläfli $\{p;q\}$, introdotti precedentemente per la classificazione dei poliedri regolari, sono anche significativi per indicare i numeri primari che agiscono nella costituzione del poliedro, dato che indicano il tipo di poligono usato come faccia e il tipo di congiunzione al vertice. Ad esempio, i numeri $\{3;5\}$ identificano l'icosaedro dato che ogni vertice è costituito dalla congiunzione di 5 triangoli, cioè 5 poligoni di 3 lati. Viceversa, ogni vertice del dodecaedro $\{5;3\}$ è costituito dalla congiunzione di 3 pentagoni, ovvero di 3 poligoni di 5 lati ciascuno. In entrambi i casi i numeri 3 e 5 sono rilevanti, laddove tuttavia nel caso dell'icosaedro il 3 risalta per via delle sue facce triangolari, mentre nel caso del dodecaedro risalta il 5 per via delle sue facce pentagonali. Accanto a questi numeri primari, indispensabili per comprendere l'essenza del poliedro in questione, dobbiamo aggiungere dei numeri secondari o collaterali che ne esplicano e specificano meglio l'azione. Fra questi, di particolare importanza sono: • il numero $V$ di vertici del poliedro; • il numero $S$ di spigoli o lati; • il numero $F$ di facce. Il numero di vertici, spigoli e facce sono dei dati topologici fondamentali del poliedro, legati fra loro dalla semplice legge di Eulero, i.e. $V - S + F = 2$. Oltre a questi numeri, universalmente riconosciuti e studiati, vogliamo aggiungerne altri due, meno noti, ma comunque utili. • la sintesi $\tau$ del poliedro: data dalla somma del numero di lati del poligono di ciascuna faccia; • il numero $T$ di triangoli pitagorici che tassellano un dato solido. La sintesi di un poliedro riunisce in sé la caratteristica numerica dei poligoni delle facce del poliedro considerata per tutte le facce del poliedro. Ad esempio, nel caso del tetraedro, la cui superficie complessiva è formata da 4 poligoni di 3 lati ciascuno, la sintesi è data da $\tau = 3 + 3 + 3 + 3 = 3 \times 4 = 12$; nel caso del cubo, composto da 6 poligoni di 4 lati ciascuno, è data da $\tau = 4 \times 6 = 24$. La sintesi del poliedro è dunque definita dalla somma $\tau = \sum_{f \in F} L_f$, dove $L_f$ è il numero dei lati di ogni faccia e $F$ è l'insieme delle facce del poliedro, ma a fini pratici si può facilmente calcolare come il doppio degli spigoli $S$ del solido, i.e. $\tau = 2S$. Infine, un altro dato indicativo di minore importanza rispetto ai precedenti, ma pur sempre utile, è dato dalla tassellazione pitagorica del solido. Questa tassellazione è illustrata nel Timeo di Platone, opera pitagorica plausibilmente facente parte del corpus dottrinale della scuola iniziatica di Pitagora, acquisita e rielaborata successivamente da Platone. La tassellazione avveniva attraverso l'uso di due tipologie di triangoli: • un triangolo scaleno, utilizzato per i deltaedri e il dodecaedro, proporzionale a quello avente lati $1:2:\sqrt{5}$; • un triangolo isoscele proporzionale a quello di lati $1:1:\sqrt{2}$, utilizzato esclusivamente per il cubo. Il numero di triangoli necessari a ricoprire la superficie del solido era considerata dai pitagorici come significativa e inerente alle proprietà del solido stesso. Dualità fra poliedri All'osservazione della tabella notiamo come i numeri caratterizzanti l'ottaedro siano analoghi a quelli caratterizzanti il cubo e come quelli relativi all'icosaedro siano gli stessi del dodecaedro. Infatti, se uniamo opportunamente fra di loro i 6 centri delle facce quadrate di un cubo otteniamo i 6 vertici di un ottaedro; viceversa, se uniamo gli 8 centri delle facce triangolari costituenti un ottaedro otteniamo gli 8 vertici di un cubo. Similmente, unendo opportunamente il centro delle 12 facce pentagonali di un dodecaedro otterremo i 12 vertici di un icosaedro e unendo i 20 centri delle facce triangolari di un icosaedro otterremo i 20 vertici di un dodecaedro. Tale proprietà si riassume dicendo che ottaedro e cubo sono poliedri duali fra loro, come pure l'icosaedro con il dodecaedro. Il tetraedro è autoduale perché i 4 centri delle facce triangolari di un tetraedro riproducono i 4 vertici di un altro tetraedro. Due poliedri duali sono di fatto due espressioni diverse della stessa simmetria geometrica e per questo sono qualitativamente molto affini se non identici. Generazione analitica L'operazione di dualità non è la sola interconnessione che esiste fra i 5 poliedri regolari convessi. Per evidenziare le mutue relazioni fra questi solidi è possibile procedere con la seguente generazione analitica di...