Redshift Cosmologico e Materia Oscura nella Cosmologia Contemporanea

fu notato che in molte stelle e galassie erano presenti le stesse serie di assorbimento del sole ma spostate verso il rosso di una quantità chiamata redshift e definita come $z = \frac{\Delta\lambda}{\lambda}$ (2.2) dove $\Delta\lambda$ rappresenta la differenza fra la lunghezza d'onda $\lambda$ emessa e quella osservata. Questa quantità fu interpretata da Hubble come un effetto Doppler dovuto alla crescente velocità delle galassie secondo una legge lineare dipendente dalla distanza $v = HD$ (2.3) Figura 2.2: Redshift delle galassie BAS11. Linee di assorbimento del Sole (in basso) paragonate alle linee di assorbimento del supercluster di galassie BAS11 stimato a una velocità di $v = 0.07c$ e una distanza $d = 1$ miliardo di anni luce. dove $v$ è la velocità della galassia, $D$ è la distanza della galassia e $H$ è il parametro di Hubble attualmente pari a $70 \text{ km s}^{-1}\text{Mpc}^{-1}$. A partire dal 1998 le osservazioni del redshift basate sulle supernovae di tipo IA[19, 20, 21], hanno portato a mettere in crisi l'idea di un'espansione costante dell'Universo a favore di una accelerata. Ad oggi oltre alle osservazioni dirette del redshift si sono sommate le deduzioni tratte dall'analisi spettrale della Radiazione Cosmica di Fondo e delle formazioni delle strutture a larga scala[23, 18]. Alla causa di questa accelerazione apparentemente ingiustificata dell'Universo è stato dato il nome di energia oscura. Materia oscura. A partire dal 1933 le analisi compiute sulla velocità di rotazione delle galassie hanno presentato una forte anomalia[25]. Nella meccanica Newtoniana abbiamo che la velocità di rotazione soddisfa la relazione $v(r) = \sqrt{\frac{GM(r)}{r}}$ (2.4) dove $M(r)$ rappresenta la massa racchiusa nel volume secondo la $M(r) = 4\pi \int_0^r \rho(r')r'^2dr'$ (2.5) e $\rho(r)$ rappresenta la densità di materia. Il fatto che la velocità osservata sia indicativamente costante (cfr. fig.2.4) implica una massa proporzionale al raggio, $M(r) \propto r$, e dunque una densità di massa dipendente dal quadrato della distanza che sarebbe pari a $\rho(r) \propto r^{-2}$ e che si estenderebbe ben oltre i Figura 2.3: Diagramma di Hubble. Diagramma di Hubble dell'High-Z Supernova Team in [21] rappresentante il modulo di distanza dato dalla differenza magnitudine apparente $m$ e la grandezza assoluta $M$ della SuperNova IA in relazione al redshift $z$. Figura 2.4: Rotazione di NGC 6503. Velocità di rotazione della galassia nana NGC 6503 in funzione della distanza. Le dimensioni visibili della Galassia sono di 9 kpc. I punti e la linea continua rappresentano le osservazioni rilevate, la linea punteggiata, tratteggiata e punto-tratteggiata rappresentano i contributi dati da gas, materia visibile e materia oscura rispettivamente[26]. limiti visibili. Una conferma indipendente della presenza di questa massa non visibile è data dall'analisi di fenomeni di lenti gravitazionali non giustificati dalla massa visibile degli ammassi di galassie[27]. La materia costituente tale massa implicata nelle anomalie gravitazionali delle galassie è chiamata materia oscura. 2.2 Le basi della cosmologia contemporanea La cosmologia contemporanea è derivata dalla teoria gravitazionale di Einstein basata sull'equazione tensoriale $R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 8\pi GT_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}$ (2.6) dove $R_{\mu\nu}$ è il tensore curvatura di Ricci, $g_{\mu\nu}$ il tensore metrico, $R$ lo scalare curvatura, $G$ la costante di gravitazione di Newton, $T_{\mu\nu}$ il tensore energia impulso, $\Lambda$ è la costante cosmologica ed è stata usata la convenzione $c = 1$. Sinteticamente da un punto di vista fisico, la parte sinistra dell'equazione, i.e. $R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$, è il tensore di Einstein fornisce le indicazioni sulla curvatura dello spazio tempo, mentre la parte destra dell'equazione è formata dal termine un termine $T_{\mu\nu}$ che tiene conto delle sorgenti di energia e impulso. Infine la costante cosmologica $\Lambda$ può essere interpretata come una energia di vuoto. Considerando una ampia scala possiamo considerare l'Universo come omogeneo e isotropo e quindi utilizzare la metrica di Robertson-Walker $ds^2 = -dt^2 + a(t)^2R_0^2\left[\frac{dr^2}{1-kr} + r^2d\Omega^2\right]$ (2.7) dove $d\Omega^2$ è la metrica sulla 2-sfera data da $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2$, il coefficiente $R_0$ rappresenta il raggio dell'universo allo stato attuale, $a(t)$ rappresenta il fattore di scala dato da rapporto fra il raggio universale al tempo $t$ e il raggio attuale, i.e. $a(t) = R(t)/R_0$, e infine $k$ è il parametro curvatura che può assumere i valori $+1$, $-1$ e $0$. Il fattore di scala può essere messo in relazione facilmente con il redshift $z$ attraverso la $a = \frac{1}{1+z}$ (2.8) Considerando le sorgenti di momento impulso modellate come un fluido perfetto di densità energetica $\rho$ e pressione isotropica $p$ abbiamo che $T_{\mu\nu} = (\rho + p/c^2)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$ (2.9) dove $u_\mu$ è la 4-velocità del fluido. Ponendo la costante cosmologica $\Lambda$ a zero, il raggio attuale dell'universo $R_0 \sim 1$ e definendo il parametro di Hubble $H(t)$ come il rapporto fra la velocità di di espansione e il fattore di scala stesso $H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}$ (2.10) abbiamo le equazioni cosmologiche di Friedmann $\dot{H} = -\frac{k}{a^2} - 4\pi G(\rho + p)$ (2.11) $H^2 = \frac{k}{a^2} + \frac{8\pi G\rho}{3}$ (2.12) e l'equazione di continuità $\dot{\rho} = -3H(\rho + p)$ (2.13) In caso di un parametro di curvatura $k$ arbitrario possiamo definire la densità di energia in frazioni di densità di energia di vuoto $\Omega_\Lambda$, di materia $\Omega_M$